地下城游戏

来自Leetcode第174题地下城游戏

一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

编写一个函数来计算确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

-2 (K)	-3	3
-5	-10	1
10	30	-5 (P)

说明:

骑士的健康点数没有上限。
任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

动态规划

要找到确保能找到公主的最低体力值，那么就要求走过的路径尽可能短。采用自顶向下的动态规划，从终点开始，由于要求最低体力值，所以不妨假设在终点时最终体力值为1，那么到达改该点需要的最大体力值则为$Max(1,1-dp[row][col])$,接下来从该点倒序遍历求到达该点最短路径需要的最大体力值，因而为$Max(1,Min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dp[i][j])$，即保证到达下一个格子的体力值始终为正，要注意处理边界情况，即最后一行和最后一列。

class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        if(dungeon == null || dungeon[0].length == 0)
            return 0;
        int row=dungeon.length;
        int col=dungeon[0].length;
        //这个数组表示在i,j位置骑士需要的最小生命值
        int[][] dp=new int[row][col];
        for(int i=row-1;i>=0;i--){
            for(int j=col-1;j>=0;j--){
                if(i==row-1&&j==col-1){ //终点的情况
                    dp[i][j]=Math.max(1, 1-dungeon[i][j]);
                }else if(i==row-1){ //最后一行的情况
                    dp[i][j]=Math.max(1, dp[i][j+1]-dungeon[i][j]);
                }else if(j==col-1){ //最后一列的情况
                    dp[i][j]=Math.max(1, dp[i+1][j]-dungeon[i][j]);
                }else{
                    dp[i][j]=Math.max(1, Math.min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

官方题解通过拓展了数组，进而减少了无关的边界判断：

class Solution {
    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int n = dungeon.length, m = dungeon[0].length;
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            Arrays.fill(dp[i], Integer.MAX_VALUE);
        }
        dp[n][m - 1] = dp[n - 1][m] = 1;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            for (int j = m - 1; j >= 0; --j) {
                int minn = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]);
                dp[i][j] = Math.max(minn - dungeon[i][j], 1);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}