不同的二叉搜索树

来源Leetcode第96题不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

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动态规划

来源官方题解

给定一个有序序列 1 ... n，为了根据序列构建一棵二叉搜索树。我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，1 ... (i-1) 序列将成为左子树，(i+1) ... n 序列将成为右子树。于是，我们可以递归地从子序列构建子树。
在上述方法中，由于根各自不同，每棵二叉树都保证是独特的。

可见，问题可以分解成规模较小的子问题。因此，我们可以存储并复用子问题的解，而不是递归的（也重复的）解决这些子问题，这就是动态规划法。

假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则G(n)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(n)

当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，则
f(i) = G(i−1)\∗G(n−i)

综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式G(n)=G(0)∗G(n−1)+G(1)∗(n−2)+…+G(n−1)∗G(0)

public int numTrees(int n) {
    // Note: we should use long here instead of int, otherwise overflow
    long ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ans = ans * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return (int) ans;
}