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数据表示

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进制转换

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机器数及其特点

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原码特性

  • 直观易懂
    • 第一位为符号位
    • 其他为数值位
  • 正零负零两个零
  • 加、减运算方式不统一
    • 符号相异加法不能直接运算
    • 特别当 a<b时，实现 a-b比较困难
  • 从50年代开始，整数都采用补码来表示
  • 但浮点数的尾数用原码定点小数表示

反码特性

  • 两个零
  • 求反用逻辑门容易实现
  • 运算仍然很复杂
    • 相加时需要将符号位的进位位增加到LSB上

补码特性

  • 唯一的零
  • 符号位可以直接参与运算
  • 减法可以变成加法，运算电路统一
  • 负数比整数多一个
  • 不同位数的整数补码相加减时
    • 位数少的补码符号位向左扩展
    • 一直扩展到符号位对齐

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定点数机器码表示范围：
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双符号位补码

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定点与浮点数据表示

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  • 机器字长一定时，阶码越长，表示范围越大
  • 阶码相同，尾数越长，数据精度越高
  • 浮点数表示范围比定点数大，精度高
  • 阶码尾码长度应为多少合适？
  • 阶码越长，表示范围越大，精度越高 (规格化)
  • 浮点数扩大了数值表示的范围， 未增加表示数值的个数
  • 绝对值越大，浮点数分布越稀疏，浮点数是离散空间
  • 浮点运算不满足结合律
    • （2-126+1020）-1020 = ? 2-126 + (1020 - 1020) =?

十进制数的表示 BCD码

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数据校验的基本原理

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奇偶校验

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CRC校验及其实现

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  • 生成多项式特征
    • 任意位发生错误都应使余数不为0
    • 不同位发生错误余数不同
    • 余数左移一位继续作模2除，应使余数循环，循环周期 N=k+r ？

  • 如何产生生成多项式

    • (n,k)码，将Xn+1分解为若干质因子 （模2的运算）
    • 根据码距要求选择其中的因式或多个因式的乘积为生成多项式

  • 码距：任意两个合法编码间不同的二进制位数 最小码距

  • 码距越大，抗干扰能力、纠错能力越强，数据冗余越大，编码效率越低
  • 选择码距应考虑信息出错概率和系统容错率
    • 奇偶校验 最小码距为2
    • 海明码 最小码距为3

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(7,3)码多位错余数情况

  • 两位数出错余数与一位错有重叠（见表）
  • 三位错余数有可能为零 如 C1，C2，C4 （无法全部检错）

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CRC串行编码电路 (时序逻辑)

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  • 有异或门的位置是生成多项式为1的位置，G(X)=X4+X+1 10011
  • 触发器初始状态为0
  • Q4=0时，不够除，下一个时钟，数据左移一位
  • Q4=1时，够除，商上1， Q4Q3Q2Q1Serial_in ⊕ 生成多项式 结果左移
    运算速度慢，高速设备普遍采用 并行CRC 编解码

备注：
下面我们来看一看CRC串行编码电路，注意这个串行编码电路是一个同步时序逻辑，具有统一时钟。
从图中我们可以看到这个电路的包括若干个D触发器，Q4这Q3…..一共共4个D触发器，所有D触发器时钟同步，注意D触发器之间的链接，部分是直接串联，部分D触发器之间有一个异或门，异或门一个输入连接的是当前寄存器输出，另外一个是Q4的输出。这里有异或门的地方就是CRC编码电路生成多项式为1的位置，具体如红色文字所示，Q4位置是最高位，默认为1，所以生成多项式为10011，初始状态，所有触发器输出Q4Q3Q2Q1的值均为零，最高位Q4为零，按模2的除法不够除，Q4控制所有的异或门，因为Q4为零，所有异或门位置变成数据直通，Q1直接连接到Q2的D端。
四个D触发器直接串联，变成一个移位寄存器，时钟到来数据左移一位
这和模2除法的不够除的处理过程是完全一致的。根据这个运算规则，如果左移后Q4的值仍然还是0，则会继续左移，Q3，Q2，Q1初值都为零，所以只有串行输入数据中的第一个1传输到Q4时电路才会改变运行模式，当Q4为1时，所有异或门的地方要异或上1，相当于是Q4Q3Q2Q1串行输入这一组数据和生成多项式做异或，生成多项式为1的地方进行异或运算，为0的地方异或上零还是不变，还是原始数据，这里采用直连方式，计算后的结果下一时钟会左移一位，这个电路状态就是模2除法运时最高位为1，够除，商上1，被除数和除数进行异或运算，结果左移当串行输入的最后一位数据抵达进入电路后，各触发器输入端的值D4D3D2D1就是最终的余数这样一个电路，如果串行输入的数据越长，那么它需要的时钟就越多，所以它的运算速度非常慢的，目前在高速网络设备中必须采用并行的CRC编解码电路。

(7,3）编码电路

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CRC (N,k)码检错性能 r=N-k

  • 所有小于等于r长度的突发错
    • 通讯中常见，各出错位之间有因果关系
    • 突发错长度：第一和最后一个错位之间的距离
  • ( 1−2^(–r+1))比例的r+1长度的突发错
  • ( 1−2^–r )比例的大于r+1长度的突发错
  • 所有小于最小码距的任意位数的错误
  • 如果生成多项式中1的数目为偶数，可检测所有奇数错
  • 广泛运用于通信传输领域，磁存储领域

海明校验及其实现

  • 多个奇偶校验组
  • 既能检错，也能纠错

  • 最小码距为3

  • 编码规则：分组交叉奇偶校验法

    • 待编码数据分成 r 个奇偶校验组，r>1
    • r 位校验位（冗余），生成r位检错码
    • 各数据位至少参加2个校验组
    • 一个数据位出错，可导致多个检错码为1
  • 检错纠错：检错码值表示出错位置 （假设1位错）
    • 检错码全零， 数据大概率正常
    • 可检错，也可纠错，将出错位取反即可

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(4,3)码分组依据
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  • 可检一位错
    • 检错码G3G2G1 !=000，具体值为出错位置，取反即可纠错
  • 可检两位错
    • 假设D1 ，D2同时出错， G3G2G1=110 ？
  • 大多数三位错
    • D1，D2，D3同时出错？G3G2G1=000 ？
  • 能否区分区分一位错，两位错？
    • 假设没有3位错
    • 引入总偶校验位 P4=H1⊕H2⊕H3⊕H4⊕H5⊕H6⊕H7
    • G4=P4⊕H1⊕H2⊕H3⊕H4⊕H5⊕H6⊕H7 区分一位两位错

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海明码特点：

  • 编码效率高：数据增加一倍，校验位只增加一位
  • 可纠正一位错
  • 50年代发明时用于自动处理穿孔卡片的故障
  • 现在普遍用于ECC DRAM芯片
  • RAID2，卫星通讯

校验码总结

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习题

下列对海明校验的描述中，正确的描述是 C
A.在任何条件下，海明校验都无法检测到多位数据同时出错的情况
B.分成r组时，可以得到r位指误码，因此可以QU区分2^r种只有1位出错的情况
C.待编码数据长度为4位，再增加3位校验码就可以检测到仅1位数据出错的情况并纠错
D.海明校验码的码距与校验位的位数没有关系

计算机字长16位，采用补码表示整数，下列关于其表示数据范围的描述中正确的是ABCD
A.能表示的最小正数是1
B.能表示的最小负数是- (2 ^15)
C.能表示最大正数是(2^15) - 1
D.能表示的最大负数是-1

列关于补码和移码关系的描述中，错误的是B
A.一般用译码表示浮点数的阶码，而用补码表示定点数
B.零的补码和移码相同
C.同一个数的补码和移码，其数值部分相同，而符号相反
D.相同位数的补码和移码具有相同的数据表示范围

移码：X+2^n